Integrals and phase portraits of planar quadratic differential systems with invariant lines of total multiplicity four

In this article we consider the class QSL4 of all real quadratic differential systems dx dt = p(x, y), dy dt = q(x, y) with gcd(p, q) = 1, having invariant lines of total multiplicity four and a finite set of singularities at infinity. We first prove that all the systems in this class are integrable having integrating factors which are Darboux functions and we determine their first integrals. We also construct all the phase portraits for the systems belonging to this class. The group of affine transformations and homotheties on the time axis acts on this class. Our Main Theorem gives necessary and sufficient conditions, stated in terms of the twelve coefficients of the systems, for the realization of each one of the phase portraits found. We prove that these conditions are invariant under the group action. Résumé Dans cet article nous considérons la classe QSL4 de tous les systèmes différentiels quadratiques dx dt = p(x, y), dy dt = q(x, y) avec gcd(p, q) = 1, ayant des droites invariantes de multiplicité totale quatre et un nombre fini de points singuliers a l’infini. Nous prouvons d’abord que tous les systèmes dans cette classe sont intégrables ayant des facteurs intégrants qui sont des fonctions Darboux et nous déterminons leurs intégrales premières. Nous construisons aussi tous les portraits de phase des systèmes apartenant à cette classe. Le groupe des transformations affines et des homothéties sur l’axe du temps agit sur cette classe. Notre Théorème Principal donne des conditions nécessaires et suffisantes, formulées en termes des douze coefficients des systèmes, pour la réalisation de chacun des portraits de phase trouvé. Nous prouvons que ces conditions sont invariantes sous l’action du groupe.